کاربرد مدل اسپلاین آماری در حل برخی مسائل معکوس سهموی با منبع مجهول

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه ریاضی کاربردی، دانشگاه صنعتی خواجه نصیر الدین طوسی، تهران، ایران.

چکیده

مسائل معکوس سهموی از بارزترین مسائل بدوضع در علوم کاربردی هستند. با توجه به تعریف مسأله بدوضع، استفاده از روش‌های عددی پایدار برای حل این دسته از مسائل منجر به بروز خطا با اندازه‌های بسیار بزرگی در جواب خروجی می‌شود. در این مقاله، مسأله تعیین عبارت منبع مجهول(g=g(t در مسأله معکوس سهموی با معادله

[{partial _t}T(x,t) = kappa ,{nabla ^2}T(x,t) + g(t)delta (x - {x^*}),x in {( circ ,,1)^d},t in ( circ,{t_f}),]

به همراه شرط فوق اضافی

[T({x_{measure}},{t_i}) = {y_i}, ,i = 1,2, ldots ,I,]

در نظر گرفته می‌شود که در آن d = 1,2، [delta ] تابع دلتای دیراک و (T,g) توابع مجهول بوده و باید تعیین شود. در این مقاله، با استفاده از مدل اسپلاین آماری و به‌کارگیری روش منظم ‌سازی لونبرگ - مارکوارت، تقریبی از شبه جواب g محاسبه می‌شود. در پایان، چند نمونه عددی ارائه و با استفاده از روش مورد نظر نتایج عددی استخراج می‌شوند. نتایج عددی کارایی روش ارائه شده را نشان می دهند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


عنوان مقاله [English]

Application of statistical spline model for solving inverse source parabolic problems

نویسندگان [English]

  • Amir Hossein Salehi Shayegan
  • Ali Zakeri
Department of Applied Mathematics, K. N. Toosi University of Technology, Tehran, Iran.
چکیده [English]

Inverse parabolic problems are the most famous ill-posed problems‎. ‎Thus using stable inexact numerical methods for approximating these problems‎, ‎causes a large perturbation‎. ‎In this paper‎, ‎we study the problem of determining the source term of the inverse source problem‎

[{partial _t}T(x,t) = kappa ,{nabla ^2}T(x,t) + g(t)delta (x - {x^*}),x in {( circ ,,1)^d},t in ( circ ,,{t_f}),]

‎from the measured data given in the form of‎

[T({x_{measure}},{t_i}) = {y_i}, ,i = 1,2, ldots ,I,]

‎(additional condition) where d = 1,2 ‎and [delta ] is the Dirac delta function and (T,g) are the unknown functions‎. ‎Then‎, ‎using the statistical spline model and applying Levenberg-Marquardt method‎, ‎we obtain an approximate solution for quasi solution g=g(t)‎‎. ‎Finally‎, ‎to show the priority and accuracy of the introduced method some numerical examples are given‎.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Statistical spline model
  • Inverse source problem
  • Levenberg-Marquardt method

Bear, J. (1972). Dynamics of fluids in porous media. New York: American Elsevier Publ. Co.

Renardy, M., & Nohel, J. A. (1987). Mathematical problems in viscoelasticity . Longman Sc & Tech.

Cleveland, T. G. (1996). Applied Contaminant Transport Modeling‐Theory and Practice. Eos, Transactions American Geophysical Union77(48), 479-479.

Beck, J. V., Blackwell, B., & St Clair Jr, C. R. (1985). Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems. A Wiley-Interscience, New York.

Vasil’ev, F. P. (1981). Methods for Solving Extremal Problems. Minimization problems in function spaces, regularization, approximation. Moscow, Nauka.

Shidfar, A., Zakeri, A., & Neisi, A. (2005). A two-dimensional inverse heat conduction problem for estimating heat source. International journal of mathematics and mathematical sciences, (10), 1633-1641.

Shidfar, A., Zolfaghari, R., & Damirchi, J. (2009). Application of Sinc-collocation method for solving an inverse problem. Journal of computational and applied mathematics233(2), 545-554.

Ohe, T., & Ohnaka, K. (1994). Boundary element approach for an inverse source problem of the Poisson equation with a one-point-mass like source. Applied mathematical modelling18(4), 216-223.

Huhtala, A., Bossuyt, S., & Hannukainen, A. (2014). A priori error estimate of the finite element solution to a Poisson inverse source problem. Inverse problems30(8), 085007.

Yang, F., & Fu, C. L. (2010). The method of simplified Tikhonov regularization for dealing with the inverse time-dependent heat source problem. Computers & mathematics with applications60(5), 1228-1236.

Zhao, J., & Liu, S. (2015). Two regularization methods for inverse source problem on the Poisson equation. Complex variables and elliptic equations60(10), 1374-1391.

Hasanov, A. (2007). Simultaneous determination of source terms in a linear parabolic problem from the final overdetermination: weak solution approach. Journal of mathematical analysis and applications330(2), 766-779.

Tikonov, A. N., & Arsenin, V. Y. (1977). Solutions of ill-posed problems. New York: Winston.

Masjed-Jamei, M. (2009). Error control process in function interpolation using statistical spline model. Mathematical and computer modelling49(7-8), 1483-1493.

Kelley, C. T. (1999). Iterative methods for optimization. Siam.

Hanke, M. (2010). The regularizing Levenberg-Marquardt scheme is of optimal order. The journal of integral equations and applications, 259-283.

Cannon, J. R. (1984). The one-dimensional heat equation. Cambridge University Press.

Ozisik, M. N., & Orlande, H. R. B. (2000). Inverse heat transfer, fundamentals and applications. Taylor & Francis, New York.